Boa pergunta! Esta nem meus professores conseguiam responder na faculdade.
Para respondê-la vamos conhecer o átomo:
Existem várias teorias sobre o átomo, umas melhores que outras. O importante é sabermos que algumas tem limitações frente à outras. Observamos o átomo a seguir:

Um modelo clássico, de Rutherford. Os elétrons (negativos) circundam o núcleo (positivo), muito pequeno.
Estranho é que um modelo atômico como este desafia nosso senso aprendido no Ensino Médio, que cargas opostas atraem-se. E esta explicação Rutherford não conseguiu dar, apenas Niels Bohr, em suas órbitas estacionárias.
Voltando ao problema:
ele é muito mais complexo do que 'por que a Lua não cai na Terra?'.
Isto pois, um elétron é constituído de uma carga elétrica, e quando acelerado (em uma órbita circular) ele emitiria radiação eletromagnética, perdendo energia e colidindo no núcleo atômico. Diferente do que acontece com a Lua ao redor da Terra, que não possui uma carga elétrica, e sua velocidade estabiliza seu movimento orbital.
Antes de responder esta pergunta pesquisei pela internet e a resposta que mais encontrei foi exatamente a resposta que meus professores da faculdade davam ao problema:
A equação de Schrödinger prevê algumas órbitas em que o elétron não emite radiação eletromagnética.
Não posso aceitar esta resposta! É uma resposta matemática e não física.
A resposta vem da diferença da física clássica e da física quântica.
Na física clássica o elétron tem uma órbita e emite radiação (ou deveria).
Na física quântica, não existe um elétron, existe uma função de onda do elétron que rodeia o núcleo, e esta função de onda não emite radiação eletromagnética, sendo assim não cai em direção ao núcleo.
Acho que talvez você também não aceite esta resposta! Mas isso é porque você vive em um mundo clássico e não em um mundo quântico.
Open your mind!