Paradoxo dos Gêmeos

Sempre quando lembro da relatividade eu me lembro dos relógios moles de Salvador Dali.

Isto, pois o nosso conceito de tempo e espaço são modificados pela relatividade, eles deixam de ser absolutos para dependerem de quem os observa (se em movimento ou parado).

Um dos paradoxos mais famosos da relatividade é o Paradoxo dos Gêmeos.

Normalmente é apontado como insolúvel através da relatividade restrita por alguns, mas um livro (Hewitt, P. G.; Física Conceitual; Bookman) indica uma solução simples que apresentarei aqui através de uma leitura minha. Todas as imagens são do livro e não viso abusar de direitos, apenas faço uma leitura deste capítulo o qual acho muito bom. Embora tenha que fazer uma consideração, mas farei ao final do texto.

Recomendo a todos os professores de física este livro.

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O Paradoxo (?):

Dois gêmeos idênticos sendo um deles um astronauta que faz uma viagem pela galáxia em alta velocidade enquanto o outro permanece na Terra.

Quando o gêmeo viajante retorna, ele está mais jovem do que o gêmeo que ficou na Terra.

A relatividade prevê que o tempo passará mais vagarosamente em um referencial em movimento.

Onde está o paradoxo?

Se a relatividade prevê que o tempo passará mais vagarosamente em um referencial em movimento, podemos imaginar um referencial onde a nave está parada e quem se move é a Terra em relação à nave. Neste caso, não ocorreria o contrário? Ou seja, o gêmeo astronauta ficaria mais velho (pois ficou no referencial fixo) e o outro mais novo.

Este é o nosso paradoxo.

Dissolvendo o paradoxo:

Imagine a nave parada em relação à Terra e a nave enviando um flash luminoso a cada 6 minutos. O observador da Terra verá os flashes intercalados um do outro a cada 6 minutos.

Referencial Terrestre

Agora imagenemos que a nave se movimente em relação à Terra com uma velocidade de 60% da velocidade da luz (lembrando que a velocidade da luz no vácuo é de 300.000 km/s).

Ao se afastar da Terra a esta velocidade, emitindo um flash a cada 6 minutos, o observador da Terra não verá mais intervalos de 6 minutos em cada flash, mas sim de 12 minutos.

Ao se aproximar da Terra a esta velocidade, emitindo um flash a cada 6 minutos, o observador da Terra não verá mais intervalos de 6 minutos em cada flash, mas sim de 3 minutos.

Agora imaginemos que o astronauta resolva fazer uma viagem de 2 horas. Onde 1 hora é para a ida e a outra para a volta.

Quantos flashes a nave irá emitir neste período?

Fácil, basta pegar o tempo total e dividir pelo tempo de cada flash.

120/6 = 20 flashes

Como os intervalos de ida e volta são iguais teremos 10 flashes na ida e 10 flashes na volta.

Mas o que perceberá nosso observador na Terra, que tem tempos diferentes para os flashes de ida e para os da volta?

10 flashes na ida a um intervalo de 12 minutos por flash totalizam um tempo de ida, marcado por quem está na Terra de 10x12 = 120 minutos ou 2 horas (só na ida).

10 flashes na volta a um intervalo de 3 minutos por flash totalizam um tempo de volta, marcado por quem está na Terra de 10x3 = 30 minutos (só de volta).

Qual será o tempo total da viagem, então?

Para quem estava na nave, o tempo será de 2 horas, já para quem ficou na Terra o tempo será de 2 horas e 30 minutos. Ou seja, quem ficou na Terra, nesta ocasião, terá envelhecido 30 minutos a mais do que quem está na nave.

Em uma viagem mais longa de 8 anos, registrados por quem está na nave e esta com a mesma velocidade de 60% da velocidade da luz, teremos um tempo de viagem registrado por quem fica na Terra de 10 anos.

O tempo efetivamente terá passado 10 anos para quem fica na Terra e também terá passado 8 anos para quem está na nave.

Não há paradoxo nisto, isto é previsto pela Relatividade e comprovado através de experimentos.

Referencial da nave

Nosso problema está na inversão dos papéis de quem observa o flash.

Agora quem emite os flashes é quem fica na Terra e não a nave.

Os flashes são emitidos a intervalos de 6 minutos, como antes.

Na situação (a) temos a nave se afastando da Terra. Nesta situação ela vê um flash a cada 12 minutos.

Na situação (b) temos a nave se aproximando da Terra. Nesta situação ele vê um flash a cada 3 minutos.

A base se mantém como antes. Quem está na nave viajará durante 2 horas, 1 hora de ida e outra de volta.

O diferencial agora está no número de flashes captados pela nave na ida e na volta.

Durante uma viagem de ida a nave capta 60/12 = 5 flashes.

Ou seja, durante a uma hora de viagem de ida registrada pela nave, quem está na Terra, emitindo os flashes, percebe uma viagem de ida de 5x6 = 30 minutos (pois, o intervalo de cada flash na Terra é de 6 minutos e não de 12 minutos).

Durante uma viagem de volta a nave capta 60/3 = 20 flashes.

Ou seja, durante a uma hora de viagem de volta registrada pela nave, quem está na Terra, emitindo os flashes, percebe uma viagem de volta de 20x6 = 120 minutos, ou 2 horas.

Teremos um tempo de viagem total então de 2 horas para quem está na nave e de 2 horas e 30 minutos para quem ficou na Terra.

Conclusão:

Não existe tal paradoxo, a relatividade apresenta a mesma resposta não importa o referencial adotado.

Uma coisa importante a ser notada é que conseguimos entender a relatividade com este simples exemplo, mas exite um problema.
O referencial terrestre sempre deverá ser o que tem o tempo dilatado, independente do referencial.
Mas observando a viagem só de ida, temos resultados diferentes para ambos referenciais.
Este resultado nos leva a crer que existem respostas diferentes conforme o sentido de movimento e isto não ocorre.
Aconselho a leitura dos comentários do blog, pois isto foi observado pelo professor Bezerra, o qual agradeço por esta observação.